Question

如圖，在單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)M是△A₁BD內(nèi)任一點（不包括邊界），定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-ADA₁、三棱錐M-ABA₁、三棱錐M-ADB的體積．若f(M)=(

1

12

，x，y)，且ax+y-108xy≥0恒成立，則正實數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由已知中M是△A₁BD內(nèi)任一點（不包括邊界），f(M)=(

1

12

，x，y)，結(jié)合f（M）=（m，n，p）的定義，我們易得x+y=

1

12

（x＞0，y＞0），故我們可將ax+y-108xy≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥108y-

y

x

=12-（108x+

1

12x

）恒成立，再由基本不等式求出12-（108x+

1

12x

）的最大值，即可得到答案．

解答：解：∵M(jìn)是△A₁BD內(nèi)任一點
∴三棱錐M-ADA₁、三棱錐M-ABA₁、三棱錐M-ADB的體積和等于三錐錐A-A₁BD的體積
即f（M）=（m，n，p）中，m+n+p=

1

6

當(dāng)f(M)=(

1

12

，x，y)時，可得x+y=

1

12

（x＞0，y＞0）
若ax+y-108xy≥0恒成立
則a≥108y-

y

x

=12-（108x+

1

12x

）恒成立，
∵12-（108x+

1

12x

）≤10-6=4
∴正實數(shù)a的最小值為4
故答案為：4．

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，基本不等式，其中根據(jù)M是△A₁BD內(nèi)任一點，結(jié)合f(M)=(

1

12

，x，y)，得到x+y=

1

12

（x＞0，y＞0），進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，是解答本題的關(guān)鍵．