Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為2，P與橢圓長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為－.設(shè)直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)若＝ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求|y1－y2|的值；

(2)當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）4（2）存在Q(3,0)

【解析】(1)由橢圓的定義知a＝，設(shè)P(x，y)，

則有，則＝－，

又點(diǎn)P在橢圓上，則＝－，

∴b2＝2，

∴橢圓C的方程是＝1.(3分)

∵＝，

∴|cos∠AOB＝，

∴|sin∠AOB＝4，

∴S△AOB＝|sin∠AOB＝2，

又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)

(2)假設(shè)存在一點(diǎn)Q(m,0)，使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，

依題意可知直線l斜率存在且不為零，

直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，

由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，

∴kQA＋kQB＝0，即＝0，(13分)

又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，

∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，

∴存在Q(3,0)使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角．(16分)