如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且滿足.

(1)求證:;
(2)在棱上確定一點(diǎn),使、、、四點(diǎn)共面,并求此時(shí)的長(zhǎng);
(3)求平面與平面所成二面角的余弦值.
(1)詳見解析;(2);(3).

試題分析:本題有兩種方法,第一種是傳統(tǒng)方法:(1)連接,先由正方體的性質(zhì)得到,以及平面,從而得到,利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面,于是得到;(2)假設(shè)四點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面,利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到,,于是得到四邊形為平行四邊形,從而得到的長(zhǎng)度,再結(jié)合勾股定理得到的長(zhǎng)度,最終得到的長(zhǎng)度;(3)先延長(zhǎng)、交于點(diǎn),連接,找出由平面與平面所形成的二面角的棱,借助平面,從點(diǎn)在平面內(nèi)作,連接,利用三垂線法得到為平面與平面所形成的二面角的的平面角,然后在直角中計(jì)算的余弦值;
第二種方法是空間向量法:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,確定的坐標(biāo),利用來證明,進(jìn)而證明
;(2)先利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到,然后利用空間向量共線求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出的長(zhǎng)度;(3)先求出平面和平面的法向量,結(jié)合圖形得到由平面和平面所形成的二面角為銳角,最后再利用兩個(gè)平面的法向量的夾角來進(jìn)行計(jì)算.
試題解析:(1)如下圖所示,連接,

由于為正方體,所以四邊形為正方形,所以,
平面,,
平面,
平面;
(2)如下圖所示,假設(shè)、、、四點(diǎn)共面,則、四點(diǎn)確定平面,

由于為正方體,所以平面平面
平面平面,平面平面
由平面與平面平行的判定定理得,
同理可得,因此四邊形為平行四邊形,,
中,,,,
由勾股定理得
在直角梯形中,下底,直角腰,斜腰,
由勾股定理可得
結(jié)合圖形可知,解得;
(3)延長(zhǎng),設(shè),連接,則是平面與平面的交線,
過點(diǎn),垂足為點(diǎn),連接,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117132624.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以平面,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117194460.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以,
所以為平面與平面所成二面角的平面角,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240401173041377.png" style="vertical-align:middle;" />,即,因此

中,,
所以,
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240401175381363.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,
所以,
所以,故平面與平面所成二面角的余弦值為.
空間向量法:
(1)證明:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為軸、軸、軸,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、

所以,,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117912942.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,所以;
(2)設(shè),因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117990572.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
平面平面,平面平面,所以,
所以存在實(shí)數(shù),使得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240401180991012.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,
所以,,所以,
故當(dāng)時(shí),、、四點(diǎn)共面;
(3)由(1)知,
設(shè)是平面的法向量,
,即,
,則,所以是平面的一個(gè)法向量,
是平面的一個(gè)法向量,
設(shè)平面與平面所成的二面角為
,
故平面與平面所成二面角的余弦值為;
第(1)、(2)問用推理論證法,第(3)問用空間向量法,
(1)、(2)給分同推理論證法.
(3)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為軸、軸、軸,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、,
,,
設(shè)是平面的法向量,

,即
,則,,所以是平面的一個(gè)法向量,
是平面的一個(gè)法向量,
設(shè)平面與平面所成的二面角為,
,
故平面與平面所成二面角的余弦值為;
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