【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由.
(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,求AB的長(zhǎng).

【答案】解:(I)以A為原點(diǎn), , , 的方向?yàn)閄軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E( ,1,0),B1(a,0,1)
=(0,1,1), =(﹣ ,1,﹣1), =(a,0,1), =( ,1,0),
=1﹣1=0
∴B1E⊥AD1;
(II)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此時(shí) =(0,﹣1,t).
又設(shè)平面B1AE的法向量 =(x,y,z).
⊥平面B1AE,∴ ⊥B1A, ⊥AE,得 ,取x=1,得平面B1AE的一個(gè)法向量 =(1,﹣ ,﹣a).
要使DP∥平面B1AE,只要 ,即有 span> =0,有此得 ﹣at=0,解得t= ,即P(0,0, ),
又DP平面B1AE,
∴存在點(diǎn)P,滿足DP∥平面B1AE,此時(shí)AP=
(III)連接A1D,B1C,由長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1 , 且B1C∩B1E=B1
∴AD1⊥平面DCB1A1 ,
是平面B1A1E的一個(gè)法向量,此時(shí) =(0,1,1).
設(shè) 所成的角為θ,則cosθ= =
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,
∴|cosθ|=cos30°= ,即| |= ,解得a=2,即AB的長(zhǎng)為2

【解析】(Ⅰ)由題意及所給的圖形,可以A為原點(diǎn), , , 的方向?yàn)閄軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,給出圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo),可求出向量 的坐標(biāo),驗(yàn)證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直.(II)由題意,可先假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量與直線DP的方向向量?jī)?nèi)積為0,由此方程解出t的值,若能解出,則說明存在,若不存在符合條件的t的值,說明不存在這樣的點(diǎn)P滿足題意.(III)由題設(shè)條件,可求面夾二面角的兩個(gè)平面的法向量,利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程,解出a的值即可得出AB的長(zhǎng)
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.

(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從裝有2只紅球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同.

(Ⅰ)若抽取后又放回,抽3次.

(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率;

(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差.

(Ⅱ)若抽取后不放回,寫出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線C,直線為參數(shù))

(1)寫出曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程;

(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的幾何體中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,F(xiàn)是BE的中點(diǎn),AC=BC=1,∠ACB=90°,AE=2CD=2.
證明DF⊥平面ABE;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國南宋時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》中提出了秦九韶算法來計(jì)算多項(xiàng)式的值,在執(zhí)行如圖算法的程序框圖時(shí),若輸入的n=5,x=2,則輸出V的值為(
A.15
B.31
C.63
D.127

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】己知函數(shù),則不等式的解集是_______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=x3﹣3x+2+m(m>0),在區(qū)間[0,2]上存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c,使得以f(a),f(b),f(c)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形,則m的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0垂直的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)+ ,若g(x)有極大值點(diǎn)x1 , 求證: >a.

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闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹