Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）= （a﹣x﹣ax），g（x）=﹣ax+2．
（1）指出f（x）的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）若有g(shù)（2）+f（2）=3，求g（﹣2）+f（﹣2）的值；
（3）若h（x）=f（x）+g（x）﹣2，求使不等式h（x2+tx）+h（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數(shù)f（x）= （a﹣x﹣ax），

①當(dāng)0＜a＜1時(shí)， 遞減，

②當(dāng)a＞1時(shí)， 遞減，

∴當(dāng)且a＞0且a≠1時(shí)，f（x）是減函數(shù)

（2）解：由題意g（x）=﹣ax+2．

設(shè)h（x）=f（x）+g（x）﹣2，則：h（x）= ，其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

h（﹣x）= = =﹣[ ]=﹣h（x）

∵h(yuǎn)（﹣x）=﹣h（x），

∴h（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．

∵g（2）+f（2）=3，則：h（2）=1，

∴h（﹣2）=﹣1，即：g（2）+f（2）﹣2=﹣1

所以g（2）+f（2）=1

（3）解：由（2）知h（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，

由h（x2+tx）+h（4﹣x）＜0，則有：h（x2+tx）＜h（﹣4+x）

∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，

∴△=b2﹣4ac=（t﹣1）2﹣16＜0

解得：﹣3＜t＜5，

故得t的取值范圍是（﹣3，5）

【解析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)底數(shù)a討論，即可單調(diào)性．（2）令f（x）+g（x）﹣2=h（x）．證明其奇偶性，利用奇偶性求值．（3）利用（1）（2）中的結(jié)論，將不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可求解t的取值范圍．