如圖，橢圓過(guò)點(diǎn)P(1, )，其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e＝,M,N是直線x＝4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

（1）＝1；（2）；（3）(4－，0)和(4＋，0)  .

解析試題分析：（1）因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/48/c/1qa6t2.png" style="vertical-align:middle;" />，且過(guò)點(diǎn)P(1, )，列出關(guān)于a，b的方程，解得a，b．最后寫(xiě)出橢圓方程即可；（2）設(shè)點(diǎn)M（4，m），N（4，n）寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，結(jié)合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圓心C的坐標(biāo)和半徑得出圓C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0從而得出圓C過(guò)定點(diǎn)．
試題解析：（1）由已知可得
∴橢圓的方程為＝1                  4分
（2）設(shè)M（4，m），N（4，n），∵F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)
＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0  6分
∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2  ∴|MN|的最小值為2 10分
（3）以MN為直徑的圓C的方程為：(x－4)2＋(y－)＝()2  11分
令y＝0得(x－4)2＝－＝－mn＝15x＝4±
所以圓C過(guò)定點(diǎn)(4－，0)和(4＋，0)                      13分 
考點(diǎn)：1.圓與圓錐曲線的綜合；2.橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率，直線的方程為.

(1)求橢圓的方程；
(2)是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn))，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為.問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知左焦點(diǎn)為F(-1,0)的橢圓過(guò)點(diǎn)E（1,）.過(guò)點(diǎn)P(1,1)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動(dòng)弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為線段AB的中點(diǎn),求k1;
(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)、，若動(dòng)點(diǎn)滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線：的距離最小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN軸于N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足（其中m為非零常數(shù)），試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡曲線C，與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點(diǎn), 到直線的距離為,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),若, 求的取值范圍；
（3）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.

(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直線y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作直線l1垂直于x軸,動(dòng)點(diǎn)P在l1上,且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程.
(2)若直線l2是曲線C的一條切線,當(dāng)點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離最短時(shí),求直線l2的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(2，)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)M，N，P，Q是橢圓C上的四個(gè)不同的點(diǎn)，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且這兩條直線互相垂直，求證：為定值．

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