【題目】已知函數(shù)(且).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,討論函數(shù)在區(qū)間上的最值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別由求出的范圍,可得增區(qū)間;由求出的范圍, 可得減區(qū)間;(2)由(1)得,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,分四種情況討論,分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出極值,與的值比較大小,進(jìn)而可得結(jié)果.
(1)函數(shù)的定義域是.
.
當(dāng)時(shí),令,得;令,得,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),令,得;令,得,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(2)由(1)得,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
①當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在上的最大值為,最小值為;
②當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上的最大值為,最小值為;
③當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上的最小值為.
最大值為與中的較大者.下面比較與的大。
因?yàn)?/span> ,
令,得,化簡(jiǎn)得,
解得 .因?yàn)?/span>,且,
所以.
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上的最大值為;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上的最大值為;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上的最大值為.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最大值為,最小值為;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最大值為;最小值為;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最大值為,最小值為;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最大值為,最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】進(jìn)入月份,香港大學(xué)自主招生開(kāi)始報(bào)名,“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對(duì)五校高三學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)測(cè)試,在所有參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī),得到如圖所示的成績(jī)頻率分布直方圖:
(1)估計(jì)五校學(xué)生綜合素質(zhì)成績(jī)的平均值;
(2)某校決定從本校綜合素質(zhì)成績(jī)排名前名同學(xué)中,推薦人參加自主招生考試,若已知名同學(xué)中有名理科生,2名文科生,試求這3人中含文科生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線(xiàn)的離心率為,若,則的最小值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且和直線(xiàn)相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;
(2)已知點(diǎn),設(shè)不垂直于軸的直線(xiàn)與軌跡交于不同的兩點(diǎn),若軸是的角平分線(xiàn),證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】籃球運(yùn)動(dòng)于1891年起源于美國(guó),它是由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林菲爾德(舊譯麻省春田)市基督教青年會(huì)()訓(xùn)練學(xué)校的體育教師詹姆士·奈史密斯博士()發(fā)明.它是以投籃、上籃和扣籃為中心的對(duì)抗性體育運(yùn)動(dòng)之一,是可以增強(qiáng)體質(zhì)的一種運(yùn)動(dòng).已知籃球的比賽中,得分規(guī)則如下:3分線(xiàn)外側(cè)投入可得3分,3分線(xiàn)內(nèi)側(cè)投入可得2分,不進(jìn)得0分.經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn),某人投籃100次,有20個(gè)是3分線(xiàn)外側(cè)投入,30個(gè)是3分線(xiàn)內(nèi)側(cè)投入,其余不能入籃,且每次投籃為相互獨(dú)立事件.
(1)求該人在4次投籃中恰有三次是3分線(xiàn)外側(cè)投入的概率;
(2)求該人在4次投籃中至少有一次是3分線(xiàn)外側(cè)投入的概率;
(3)求該人兩次投籃后得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為調(diào)研學(xué)校師生的環(huán)境保護(hù)意識(shí),決定在本市所有學(xué)校中隨機(jī)抽取60所進(jìn)行環(huán)境綜合考評(píng)成績(jī)達(dá)到80分以上(含80分)為達(dá)標(biāo).60所學(xué)校的考評(píng)結(jié)果頻率分布直方圖如圖所示(其分組區(qū)間為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]).
(Ⅰ)試根據(jù)樣本估汁全市學(xué)校環(huán)境綜合考評(píng)的達(dá)標(biāo)率;
(Ⅱ)若考評(píng)成績(jī)?cè)?/span>[90.100]內(nèi)為優(yōu)秀.且甲乙兩所學(xué)校考評(píng)結(jié)果均為優(yōu)秀從考評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的學(xué)校中隨機(jī)地抽取兩所學(xué)校作經(jīng)驗(yàn)交流報(bào)告,求甲乙兩所學(xué)校至少有一所被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)若,且對(duì)任意恒成立,求的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的極大值為,極小值為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足(),().
(1)若,證明:是等比數(shù)列;
(2)若存在,使得,,成等差數(shù)列.
① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
② 證明:.
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