【題目】(Ⅰ)已知x2+y2=1,求2x+3y的取值范圍;
(Ⅱ)已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0,求證: .
【答案】解:(Ⅰ)由柯西公式(x2+y2)(4+9)≥(2x+3y)2 ,
則|2x+3y| ,
∴﹣ ≤2x+3y≤ .
(Ⅱ)證明:由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0,得(a﹣1)2+(1﹣b)2+(1﹣c)2=3,
由柯西公式[(a﹣1)2+(1﹣b)2+(1﹣c)2](4+1+1)≥[2(a+1)+(1﹣b)+(1﹣c)]2
得證:18≥(2a﹣b﹣c)2 , 所以
【解析】(Ⅰ)已知x2+y2=1,由柯西公式(x2+y2)(4+9)≥(2x+3y)2 , 即可求2x+3y的取值范圍;(Ⅱ)由柯西公式[(a﹣1)2+(1﹣b)2+(1﹣c)2](4+1+1)≥[2(a+1)+(1﹣b)+(1﹣c)]2 , 即可證明結(jié)論.
【考點精析】利用不等式的證明對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學歸納法等.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知p:x2﹣7x+10<0,q:x2﹣4mx+3m2<0,其中m>0.
(1)若m=4,且p∧q為真,求x的取值范圍;
(2)若¬q是¬p的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】制定投資計劃時,不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預測,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足
(Ⅰ)求證:{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設 ,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具,據(jù)統(tǒng)計,某公司名員工中的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有人,其余每天使用微信在一小時以上.若將員工年齡分成青年(年齡小于歲)和中年(年齡不小于歲)兩個階段,使用微信的人中是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信,經(jīng)常使用微信的員工中是青年人.
(Ⅰ)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出列聯(lián)表;
青年人 | 中年人 | 合計 | |
經(jīng)常使用微信 | |||
不經(jīng)常使用微信 | |||
合計 |
(Ⅱ)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù),是否有的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?
(Ⅲ)采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取人,從這人中任選人,求事件 “選出的人均是青年人”的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解某城市居民用水量的情況,我們獲得100位居民某年的月均用水量(單位:噸)通過對數(shù)據(jù)的處理,我們獲得了該100位居民月均用水量的頻率分布表,并繪制了頻率分布直方圖(部分數(shù)據(jù)隱藏)
100位居民月均用水量的頻率分布表
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
1 | 4 | 0.04 | |
2 | 0.08 | ||
3 | 15 | ||
4 | 22 | ||
5 | |||
6 | 14 | 0.14 | |
7 | 6 | ||
8 | 4 | 0.04 | |
9 | 0.02 | ||
合 計 | 100 |
(1)確定表中與的值;
(2)求頻率分布直方圖中左數(shù)第4個矩形的高度;
(3)在頻率分布直方圖中畫出頻率分布折線圖;
(4)我們想得到總體密度曲線,請回答我們應該怎么做?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)員工500人參加“學雷鋒”志愿活動,按年齡分組:第1組[25,30),第2組[30,35),第3組[35,40),第4組[40,45),第5組[45,50],得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)上表是年齡的頻數(shù)分布表,求正整數(shù)的值;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少?
(3)在(2)的前提下,從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動,求至少有1人年齡在第3組的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a>0,b>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1.
(1)求證:2a+b=2;
(2)若a+2b≥tab恒成立,求實數(shù)t的最大值.
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