Question

已知橢圓C₁：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，右頂點(diǎn)為A，離心率
（1）設(shè)拋物線C₂：y²=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線C₃以橢圓C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，b是雙曲線C₃在第一象限上任意-點(diǎn)，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為拋物線C₂的準(zhǔn)線方程為x=-1，
所以橢圓C₁的左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為F₁（-1，0），所以橢圓的半焦距c=1，
又橢圓的離心率e=，
所以a=2，b==，
所以橢圓C₁的方程為；
（2）存在常數(shù)λ=2，使∠BAF₁=2∠BF₁A恒成立，
證明如下：設(shè)橢圓的半焦距為c，
因為e==，所以a=2c，b=c，
所以雙曲線C₃的方程為，A（2c，0），
設(shè)B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則，
①當(dāng)AB⊥x軸時，x₀=2c，y₀=3c，則tan∠BF₁A===1，
又∠BF₁A，所以，
所以=2∠BF₁A；
②當(dāng)AB不與x軸垂直時，即x₀≠2c時，
因為tan∠BAF₁=，tan∠BF₁A=，
所以tan2∠BF₁A==，
又因為，
所以tan2∠BF₁A===tan∠BAF₁，
又∠BAF₁與2∠BF₁A同在（0，）或（，π）內(nèi)，
所以∠BAF₁=2∠BF₁A．
綜上可知存在λ=2，使得∠BAF₁=2∠BF₁A恒成立．
分析：（1）由拋物線準(zhǔn)線方程可得橢圓左焦點(diǎn)，從而得c值，再由離心率得a，由b=得b；
（2）可先通過垂直情況求出λ=2，然后作出一般證明．證明如下：設(shè)橢圓的半焦距為c，由離心率及雙曲線與橢圓的關(guān)系可得雙曲線C₃的方程為，A（2c，0），設(shè)B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），①當(dāng)AB⊥x軸時，易求，利用斜率公式可得tan∠BF₁A，從而求得，得證；②當(dāng)AB不與x軸垂直時，即x₀≠2c時，利用斜率公式表示出tan∠BF₁A及tan∠BAF₁，根據(jù)倍角公式可求證tan2∠BF₁A=tan∠BAF₁，再由∠BAF₁與2∠BF₁A的范圍即可證得∠BAF₁=2∠BF₁A，綜合①②可得結(jié)論；
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的方程，考查直線的斜率公式，考查分類討論思想，考查學(xué)生對問題的分析解決能力，先用特殊情況探求λ值，再作出一般證明是解決（2）問的關(guān)鍵．