Question

已知橢圓C₁：的左焦點為F，點P為橢圓上一動點，過點以F為圓心，1為半徑的圓作切線PM，PN，其中切點為M，N則四邊形PMFN面積的最大值 為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接PF，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得S_△AFM=|PM|•|MF|=|PM|，從而四邊形PMFN面積S=2S_△AFM=|PM|．根據(jù)勾股定理，得|PM|=，因此當|PF|最長時|PM|達到最大值．再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得P與橢圓右頂點重合時，|PF|最長，由此可得|PM|最大值為2，即得四邊形PMFN面積的最大值．
解答：解：連接PF，
∵PM與圓F相切，∴PM⊥MF，可得S_△AFM=|PM|•|MF|=|PM|
根據(jù)對稱性可得四邊形PMFN面積S=2S_△AFM=|PM|
Rt△PMF中，|PM|==
因此，當|PF|最長時，|PM|達到最大值，
同時四邊形PMFN面積S達最大值．
由橢圓的幾何性質(zhì)，得
當P與橢圓右頂點（4，0）重合時，|PF|最長．
∵左焦點F坐標為（-1，0），
∴|PF|最大值為|4-（-1）|=5，可得|PM|最大值為=2
可得四邊形PMFN面積S的最大值為2
故答案為：2
點評：本題給出橢圓內(nèi)有一個內(nèi)含于橢圓的小圓，求橢圓上一點P切圓的兩條切線和過切點兩條半徑構成的四邊形面積的最大值，著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、勾股定理和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．