【題目】已知函數(shù),其中常數(shù)

(Ⅰ)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為, 若內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“類對(duì)稱點(diǎn)”,當(dāng)時(shí),試問是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,若存在,請(qǐng)求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)存在“類對(duì)稱點(diǎn)”.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)法一: 時(shí),求出的導(dǎo)數(shù),得到切線方程根據(jù)新定義問題等價(jià)于當(dāng)時(shí), ,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可;法二:猜想存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為,然后加以證明即可.

試題解析:(Ⅰ)解 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,因?yàn)?/span>

所以, 因,

,即, 由;

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間為;

(Ⅱ)解法一:當(dāng)時(shí),

所以在點(diǎn)處的切線方程為

易知;

=0

當(dāng)時(shí), ,令,則,所以函數(shù)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí), ,從而有時(shí), ;

當(dāng)時(shí), ,令,則,所以上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí), ,從而有時(shí), ;

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)不存在“類對(duì)稱點(diǎn)”。 ……11分

當(dāng)時(shí), ,所以上是增函數(shù),

當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), ,

恒成立

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)存在“類對(duì)稱點(diǎn)”.

(Ⅱ)解法二

當(dāng)時(shí),

所以在點(diǎn)處的切線方程為

若函數(shù)存在“類對(duì)稱點(diǎn)”

則等價(jià)當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí)恒成立

當(dāng)時(shí)恒成立,

等價(jià)于恒成立

要使恒成立,只要單調(diào)遞增即可

所以,即當(dāng)時(shí)恒成立,同理可得,

所以

所以函數(shù)存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”橫坐標(biāo)為.

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