【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
(3)已知,且任意有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1);(2)分類討論,詳見解析;(3).
【解析】
(1)當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x3+3x﹣3,f(2)=11.由f'(x)=3x2+3,得f'(2)=15.由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出y=f(x)在x=2處的切線方程;
(2)當(dāng)a≤﹣1時(shí),得f(x)=x3+3x﹣3a,由f'(x)=3x2+3>0,得到f(x)min=f(﹣1)=﹣4﹣3a.當(dāng)a≥1時(shí),得f(x)=x3﹣3x+3a,由f'(x)=3x2﹣3≤0,得到f(x)min=f(1)=﹣2+3a.當(dāng)﹣1<a<1時(shí),f(x),由此能求出函數(shù)f(x)的最小值;
(3)當(dāng)a>0,且任意x≥1有f(x+a)﹣f(1+a)≥15a2lnx,即對任意x≥1有(x+a)3+3x﹣15a2lnx﹣(a+1)3﹣3≥0.設(shè)g(x)=(x+a)3+3x﹣15a2lnx﹣(a+1)3﹣3,則g(1)=0,g'(x)=3(x+a)2+3.設(shè)h(x)=g'(x)=3(x+a)2+3,則h'(x)=6(x+a)0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果.
解:(1)當(dāng)時(shí),,.由,得.
所以在處的切線方程為即.
(2)①當(dāng)時(shí),得,因?yàn)?/span>,
所以在單調(diào)遞增,所以.
②當(dāng)時(shí),得,因?yàn)?/span>,
所以在單調(diào)遞減,所以.
③當(dāng)時(shí),
由①②知:函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以,
綜上,當(dāng),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
(3)當(dāng),且任意有,
即對任意有.
設(shè),
則,.
設(shè),
因?yàn)?/span>,,所以,所以在單調(diào)遞增,
所以,即,
①當(dāng)即時(shí),所以恒成立,
所以在單調(diào)遞增,此時(shí),滿足題意.
②當(dāng)即時(shí),
因?yàn)?/span>,且在單調(diào)遞增,
所以存在唯一的,使得,
因此當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí);
所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.
所以,不滿足題意.
綜上,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.
(1)求證:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P-BD-A的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()過點(diǎn)與.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn),且傾斜角為的直線和橢圓交于、兩點(diǎn),對于橢圓上任一點(diǎn),若,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,,,為圓上三個(gè)定點(diǎn),某同學(xué)從點(diǎn)開始,用擲骰子的方法移動(dòng)棋子.規(guī)定:①每擲一次骰子,把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn);②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定,若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù),則按圖中箭頭方向移動(dòng);若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù),則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng).設(shè)擲骰子次時(shí),棋子移動(dòng)到,,處的概率分別為,,.例如:擲骰子一次時(shí),棋子移動(dòng)到,,處的概率分別為,,.
(1)分別擲骰子二次,三次時(shí),求棋子分別移動(dòng)到,,處的概率;
(2)擲骰子次時(shí),若以軸非負(fù)半軸為始邊,以射線,,為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)記,,,其中.證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線C:x2=4y的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作拋物線的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和的最小值是( )
A.7B.6C.5D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)設(shè),證明:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),直線, 分別與軸交于點(diǎn), .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識競賽,競賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.
(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率;
(2)若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是,且各題答對與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學(xué)答對題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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