【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，如果方程有兩個不等實根，求實數(shù)t的取值范圍，并證明.

【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.

【解析】

（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關(guān)系，將，等價轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對于任意恒成立即可.

（1）的定義域為R，且.

由，得；由，得.

故當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

單調(diào)遞減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由（1）知當時，，且.

當時，；當時，.

當時，直線與的圖像有兩個交點，

實數(shù)t的取值范圍是.

方程有兩個不等實根，

，，，，

，即.

要證，只需證，

即證，不妨設(shè).

令，則，

則要證，即證.

令，則.

令，則，

在上單調(diào)遞增，.

，在上單調(diào)遞增，

，即成立，

即成立..

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）若 ，求曲線 在點 處的切線方程；

（2）若 在 處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入27萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且.

⑴ 寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；

⑵ 當年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？（注：年利潤＝年銷售收入年總成本）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，Q為l上的動點，以OQ為邊作等邊三角形OPQ，且三點O，P，Q按逆時針方向排列.

（Ⅰ）設(shè)點P運動軌跡E的直角坐標方程；

（Ⅱ）若曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，若點M為曲線上的動點，且點M到曲線E的最小距離為1，求實數(shù)a的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，實數(shù).

（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若存在，使得關(guān)于x的不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于集合，，，，定義.

集合中的元素個數(shù)記為，當，稱集合具有性質(zhì).

（1）已知集合，，寫出，的值，并判斷集合是否具有性質(zhì)；

（2）設(shè)集合具有性質(zhì)，判斷集合中的三個元素是否能組成等差數(shù)列，請說明理由；

（3）若數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列. 數(shù)列中的前100項：組成的集合記作，將集合中的所有元素從小到大排序，即滿足，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著夏季的到來，冰枕成為市面上的一種熱銷產(chǎn)品，某廠家為了調(diào)查冰枕在當?shù)卮髮W的銷售情況，作出調(diào)研，并將所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：

表一：

溫度在30℃以下

溫度在30℃以上

總計

女生

10

30

40

男生

40

20

60

總計

50

50

100

隨后在該大學一個小賣部調(diào)查了冰枕的出售情況，并將某月的日銷售件數(shù)（x）與銷售天數(shù)（y）統(tǒng)計如下表所示：

表二：

第天

2

4

6

8

10

（件）

3

6

7

10

12

（1）請根據(jù)表二中的數(shù)據(jù)在下列網(wǎng)格紙中繪制散點圖；

（2）請根據(jù)表二中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（3）從（1）（2）中的數(shù)據(jù)及回歸方程我們可以得到，銷售件數(shù)隨著銷售天數(shù)的增長而增長，但無法判斷男、女生對冰枕的選擇是否與溫度有關(guān)，請結(jié)合表一中的數(shù)據(jù)，并自己設(shè)計方案來判段是否有99.9%的可能性說明購買冰枕的性別與溫度相關(guān).

參考數(shù)據(jù)及公式：

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

；，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數(shù)的最小值；

（3）已知，且任意有，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足．

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）對任意正整數(shù)n，an小數(shù)點后第一位數(shù)字是多少？請說明理由．

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