Question

（2012•西城區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的離心率為

6

3

，一個(gè)焦點(diǎn)為F(2

2

，0)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx-

5

2

交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B都在以點(diǎn)M（0，3）為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用離心率為

6

3

，一個(gè)焦點(diǎn)為F(2

2

，0)，可求a，c的值，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)將直線l的方程代入橢圓C的方程，確定線段AB的中點(diǎn)為D，利用點(diǎn)A，B都在以點(diǎn)（0，3）為圓心的圓上，得k_MD•k=-1，由此可求k的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則c=2

2

．              …（1分）
由e=

c

a

=

6

3

，得 a=2

3

，從而b²=a²-c²=4．    …（4分）
所以，橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．                    …（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將直線l的方程代入橢圓C的方程，消去y得：4（1+3k²）x²-60kx+27=0．             …（7分）
由△=3600k²-16（1+3k²）×27＞0，得k2＞

3

16

，且x1+x2=

15k

1+3k2

． …（9分）
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，則xD=

15k

2+6k2

，yD=kxD-

5

2

=

-5

2+6k2

．…（10分）
由點(diǎn)A，B都在以點(diǎn)（0，3）為圓心的圓上，得k_MD•k=-1，…（11分）
即 

3+ 5 2+6k2

-15k 2+6k2

•k=-1，解得 k2=

2

9

，符合題意．  …（13分）
所以 k=±

2

3

．                          …（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確求橢圓方程是關(guān)鍵．