【題目】設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)令,其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)當(dāng)時(shí),方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2);(3) .
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間, 的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間;(2)先構(gòu)造函數(shù)再由以其圖象上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立,知導(dǎo)函數(shù)恒成立,再轉(zhuǎn)化為求解;(3)先把握有唯一實(shí)數(shù)解,轉(zhuǎn)化為有唯一實(shí)數(shù)解,再利用單調(diào)函數(shù)求解.
試題解析:(1)依題意,知的定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí), ,
令,解得或(舍去),
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,
所以的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(2)由題意知,則有在(0,3)上恒成立,所以,當(dāng)x0=1時(shí), 取得最大值,
所以
(3)當(dāng)時(shí), ,
由,得,又,所以,
要使方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解,
只需有唯一實(shí)數(shù)解
令,∴,由得; ,得,
∴在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù).
,故 .
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、不等式的恒成立和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟:①確定函數(shù)的定義域;②對(duì)求導(dǎo);③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a﹣ (a∈R)
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并給出證明;
(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x)≥ 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)恒成立,求m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下列命題:
①若,則“”是“”成立的充分不必要條件;
②若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,且弦過點(diǎn),則的周長(zhǎng)為16;
③若命題“”與命題“或”都是真命題,則命題一定是真命題;
④若命題: ,則:
其中為真命題的是__________(填序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】格紙中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線部分是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是
A. 3 B. 6 C. D. 5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)和分別是的兩個(gè)極值點(diǎn)且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱平面, , , , ,點(diǎn)是的中點(diǎn)
(1)證明: 平面;
(2)在線段上找一點(diǎn),使得直線與所成角的為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ) 當(dāng)a=-1時(shí),求證: ;
(Ⅱ) 對(duì)任意,存在,使成立,求a的取值范圍.
(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),f(2)=1,且對(duì)于任意a,b∈(0,+∞), 恒成立. (I)求f(8);
(II)求不等式 的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五邊形是由一個(gè)梯形與一個(gè)矩形組成的,如圖甲所示,B為AC的中點(diǎn), . 先沿著虛線將五邊形折成直二面角,如圖乙所示.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求圖乙中的多面體的體積.
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