【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:∵a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|≥|(x+ )﹣(x﹣a)|=|a+ |=a+ ≥2 =2,

故不等式f(x)≥2成立.


(2)解:∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,

∴當(dāng)a>3時(shí),不等式即a+ <5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<

當(dāng)0<a≤3時(shí),不等式即 6﹣a+ <5,即 a2﹣a﹣1>0,求得 <a≤3.

綜上可得,a的取值范圍( , ).


【解析】(1)由a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f(x)≥2成立.(2)由f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,分當(dāng)a>3時(shí)和當(dāng)0<a≤3時(shí)兩種情況,分別去掉絕對(duì)值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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