Question

【題目】如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．

（1）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（a），取AA1的中點M，連接EM，BM，因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD．

又在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，

∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角．

設(shè)正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE= ，

于是在Rt△BEM中，

即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為 ．

（2）解：在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE，

事實上，如圖（b）所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，

因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，

因此D1C∥A1B，又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B，這說明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE

因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四邊形B1BGF為平行四邊形，所以B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．

【解析】（1）先取AA1的中點M，連接EM，BM，根據(jù)中位線定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1 ， 則EM⊥面ABB1A1 ， 從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，則∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．（2）在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1 ， FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，根據(jù)中位線定理可知EG∥A1B，從而說明A1 ， B，G，E共面，則BG面A1BE，根據(jù)FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，從而得到四邊形B1BGF為平行四邊形，則B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根據(jù)線面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．