【題目】如圖，四邊形ABCD中，△BCD為正三角形，AD=AB=2， ，AC與BD中心O點(diǎn)，將△ACD沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為60°．
（1）求證：平面PAC⊥平面PDB；
（2）求已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值．

【答案】
（1）解：證明：∵△BCD為正三角形，AD=AB=2，易知O為BD的中點(diǎn)，則AC⊥BD，

又PO平面PBD，所以AC⊥平面PBD，∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PD B．


（2）解：過P作DB的垂線，垂足為H，則PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，

以O(shè)B為x后，OC為y軸，過O垂直于平面ABC向上的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，﹣1，0）， ， ，

易知平面PBD的法向量為 ， ， ，

設(shè)平面ABP的法向量為 ，

則由 得 ，

取 ， ，

二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ．


【解析】（1）易知O為BD的中點(diǎn)，則AC⊥BD，即AC⊥平面PBD，即平面PAC⊥平面PDB．（2）過P作DB的垂線，垂足為H，則PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，以O(shè)B為x后，OC為y軸，過O垂直于平面ABC向上的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．
【考點(diǎn)精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，有一塊矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根據(jù)周邊環(huán)境及地形實(shí)際，當(dāng)?shù)卣?guī)劃在該空地內(nèi)建一個(gè)箏形商業(yè)區(qū)AEFG，箏形的頂點(diǎn)A，E，F(xiàn)，G為商業(yè)區(qū)的四個(gè)入口，其中入口F在邊BC上（不包含頂點(diǎn)），入口E，G分別在邊AB，AD上，且滿足點(diǎn)A，F(xiàn)恰好關(guān)于直線EG對(duì)稱，矩形內(nèi)箏形外的區(qū)域均為綠化區(qū)．

（1）請(qǐng)確定入口F的選址范圍；
（2）設(shè)商業(yè)區(qū)的面積為S1 ， 綠化區(qū)的面積為S2 ， 商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)為 ，則入口F如何選址可使得該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體A1B1D1﹣ABCD中，四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P為DD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥PC；
（Ⅱ）求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）對(duì)任意的x＞1恒成立，則k的最大值為（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）= ，若曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)， ＞ ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)，為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象與直線相切．

（1）求的解析式；

（2）已知函數(shù)且，求的單調(diào)遞減區(qū)間和極值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD
（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，點(diǎn)A、B是函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)，則∠AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是（ ）
A.（0， ）
B.（0， ]
C.（0， ）
D.（0， ]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案