Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+2|.

（1）若a＝1.解不等式f（x）≤x2﹣1；

（2）若a＞0，b＞0，c＞0.且f（x）的最小值為4﹣b﹣c.求證：.

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤﹣2或x≥1}（2）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)絕對(duì)值函數(shù)進(jìn)行分段討論，解不等式即可；

（2）求出的最小值，得到，利用柯西不等式證明即可．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，

當(dāng)x≤﹣2時(shí)，﹣2x﹣1≤x2﹣1，得x2+2x≥0，所以x≤﹣2；

當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，3≤x2﹣1，得x2≥4，無解

當(dāng)x≥1時(shí)，由2x+1≤x2﹣1，得x2﹣2x﹣2≥0，得x≥1，

綜上，不等式的解集為{x|x≤﹣2或x≥1}；

（2）證明：

因?yàn)?/span>f（x）＝|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|＝a+2＝4﹣b﹣c，

得a+b+c＝2，

所以2，

當(dāng)且僅當(dāng)a+b＝c＝1時(shí)成立，

故原命題得證.