【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,AA1AB,M,N分別為AB,AA1的中點.
(1)求證:平面B1NC⊥平面CMN;
(2)若AB=2,求點N到平面B1MC的距離.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)推導出AA1⊥平面ABCD,AA1⊥CM,CM⊥AB,從而CM⊥平面ABB1A1,進而CM⊥B1N,推導出△A1B1N∽△ANM,從而∠A1B1N=∠ANM,∠A1NB1=∠AMN,進而B1N⊥MN,B1N⊥平面CMN,由此能證明平面B1NC⊥平面CMN.
(2)求出點B1到平面CMN的距離為h1,設N到平面B1CM的距離為h2,由,能求出點N到平面B1MC的距離.
(1)證明:∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,∴AA1⊥平面ABCD,
∵CM平面ABCD,∴AA1⊥CM,
∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,M是AB的中點,
∴CM⊥AB,
∵AA1∩AB=A,AA1平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,
∴CM⊥平面ABB1A1,
∵B1N平面ABB1A1,∴CM⊥B1N,
∵M是AB中點,N為AA1中點,AA1,
∴,,
∵∠B1A1N=∠NAM=90°,∴△A1B1N∽△ANM,
∴∠A1B1N=∠ANM,∠A1NB1=∠AMN,
∴∠A1NB1+∠ANM=90°,∴B1N⊥MN,
∵MN∩CM=M,∴B1N⊥平面CMN,
∵B1N平面B1NC,∴平面B1NC⊥平面CMN.
(2)∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,
AA1AB,AB=2,M,N分別為AB,AA1的中點.
∴MN,B1M3,B1C,
B
∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴CM,CN,
由(1)知B1N⊥平面CMN,設點B1到平面CMN的距離為h1,h1,
∵CN2=MN2+CM2,∴,
∴,
∵B1M=3,,∴,
設N到平面B1CM的距離為h2,
∵,
∴,
解得h2.
∴點N到平面B1MC的距離為.
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【題目】已知為坐標原點,為坐標平面內動點,且成等差數列.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)設點的軌跡為曲線,過點作直線交于兩點(不與原點重合),是否存在軸上一定點,使得_________.若存在,求出定點,若不存在,說明理由.從“①作點關于軸的對稱點,則三點共線;②”這兩個條件中選一個,補充在上面的問題中并作答(注:如果選擇兩個條件分別作答,按第一個解答計分)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在三棱錐P﹣ABC中,平面PBC⊥平面ABC,∠ACB=90°,BC=PC=2,若AC=PB,則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為( )
A.B.C.D.
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【題目】小明和父母都喜愛《中國好聲音》這欄節(jié)目,年月日晚在鳥巢進行中國好聲音終極決賽,四強選手分別為李榮浩戰(zhàn)隊的邢晗銘,那英戰(zhàn)隊的斯丹曼簇,王力宏戰(zhàn)隊的李芷婷,庾澄慶戰(zhàn)隊的陳其楠,決賽后四位選手相應的名次為、、、,某網站為提升娛樂性,邀請網友在比賽結束前對選手名次進行預測.現用、、、表示某網友對實際名次為、、、的四位選手名次做出的一種等可能的預測排列,是該網友預測的名次與真實名次的偏離程度的一種描述.
(1)求的分布列及數學期望;
(2)按(1)中的結果,若小明家三人的排序號與真實名次的偏離程度都是,計算出現這種情況的概率(假定小明家每個人排序相互獨立).
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“若,則”的否命題為:“若,則”
B.命題“存在,使得”的否定是:“對任意,均有”
C.命題“角的終邊在第一象限角,則是銳角”的逆否命題為真命題
D.已知是上的可導函數,則“”是“是函數的極值點”的必要不充分條件
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【題目】已知數列是公差為1的等差數列,是單調遞增的等比數列,且,,.
(1)求和的通項公式;
(2)設,數列的前項和,求;
(3)若數列的前項積為,求.
(4)數列滿足,,其中,,求.
(5)解決數列問題時,經常需要先研究陌生的通項公式,只有先把通項公式研究明白,然后盡可能轉化為我們熟悉的數列問題,由此使問題得到解決.通過對上面(2)(3)(4)問題的解決,你認為研究陌生數列的通項問題有哪些常用方法,要求介紹兩個.
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