Question

【題目】如圖，矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（Ⅲ）若，，求多面體的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）1

【解析】

試題（Ⅰ）連接BD交AC于O，連接EO．證明EO∥QB，即可證明QB∥平面AEC；（Ⅱ）證明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后證明平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）通過多面體ABCEQ為四棱錐Q-ABCD截去三棱錐E-ACD所得，計算求解即可

試題解析：（Ⅰ）證明：連接交于，連接．

因為 分別為和的中點，則∥．

又 平面，平面，

所以 ∥平面

（Ⅱ）證明： 因為矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，

平面，，

所以平面．

又平面， 所以．

因為，是的中點， 所以．

所以平面．

所以平面⊥平面．

（Ⅲ）解：多面體為四棱錐截去三棱錐所得，

所以．