Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù),都有成立,記?
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;
(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為?已知正實(shí)數(shù)滿足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,求的最小值?

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
又

數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是

 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
當(dāng)
當(dāng)

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)
則


>
對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立
只對(duì)滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。
另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有
事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有


當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)
則<
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)
則
<
對(duì)一切的正整數(shù)n，都有
綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4

略