(1)如圖(1),在矩形ABCD中,AD∥BC,從而AD∥平面PBC,故直線AD與平面PBC的
距離為點A到平面PBC的距離(2分)。因為PA⊥AB,
由PA=AB知 PAB為等腰直角三角形,又點E是棱PB的中點,故AE⊥PB,又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB在底面ABCD內(nèi)和射影,由三垂線定理得BC⊥PB,從而BC⊥PAB(4分)。故BC⊥AE,從而AE⊥平面PBC,故AE的長即為直線AD與平面PBC的距離,在Rt
PAB中,PA=AB=
,所以
!6`
(2)過點D作DF⊥CE,交CE于F,過點F作FG⊥CE,交AC于G,則∠DFG為
所求的二面角的平面角!8`
由(1)知BC⊥平面PAB,又AD⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,從而DE=
。
在Rt
CBE中,
.由CD=
,知
CDE為等邊三角形,故F為CE的中點,且
因為AE⊥平面PBC,故AE⊥CE。又FG⊥CE,知
從而
,且G點為AC的中點,連接DG,則在
中,
…………………………………………10`
所以
所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值為
!12`
解
法2:(1)如圖(2),以A為坐標(biāo)原點,
射線AB、AD、AP分別為
軸、
軸、
軸
正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-
。
設(shè)
………2`
因此
,
,
則
所以AE⊥平面PBC!4`
又由AD∥BC加AD∥平面PBC,故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離,即為
………6`
(2)因為
設(shè)平面AEC的法向量
又
所以
…………8`
設(shè)平面DEC的法向量
則
又
故
所以
……………………10`
故
…………12`
所以三角形A-EC-D的平面角的余弦值為
。