Question

【題目】如圖，已知橢圓，直線，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線與軸交于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求該橢圓的長軸的長度；

（2）若，且，求的值；

（3）若，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）見解析．

【解析】

（1）利用焦半徑算出后可得長軸長．

（2）設(shè)，利用可得的方程組，再利用點(diǎn)在橢圓上可求的坐標(biāo)，從而可求直線的斜率．

（3）設(shè)，，用的坐標(biāo)表示直線的方程，進(jìn)而求得與的坐標(biāo)的關(guān)系，同理可得與的坐標(biāo)的關(guān)系，利用在橢圓上可得，從而可證為定值．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，故焦點(diǎn)在軸上，所以．

又，故，從而橢圓的長軸長為4．

（2）因?yàn)?/span>，故．因?yàn)?/span>，所以．

設(shè)，則，

所以，，又，

故或，故．

（3）設(shè)，，則．

直線的方程為：，

令，則，同理，

故，

因?yàn)?/span>，故，它是一個(gè)定值．