Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓 ()的短軸長為2，橢圓上的點到右焦點距離的最大值為．過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點（，），是線段的中點，直線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，，求的值；

（3）若存在直線，使得四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意列出關于a，b，c的方程，解得a，b則可得橢圓的方程.

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理可得D的坐標，進而得到直線的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立，可得M的的坐標，代入已知的向量關系式中，解得k即可.

（3）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理及，得到關于m與k的不等關系式，再將四邊形為平行四邊形轉化為向量關系，得到m與k的等量關系，代入不等式消去k可得m的范圍.

（1）由條件，，，，

解得，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）當時，直線的方程為，

設 ，

由消去得：.

因為點在橢圓內，所以.

所以，所以.

所以，直線的方程為：.

由消去得：，所以 .

因為，所以，

因為，解得.

（3）直線的方程為，

由消去得：.

所以，即（*），

且，所以.

因為，關于原點對稱，

由（2）易知，.

由四邊形為平行四邊形，所以，

可得，即.

由于將代入（*）式恒成立，

所以當時，，

因為，所以.