Question

【題目】如圖，已知四邊形的直角梯形，,，，為線段的中點(diǎn)，平面，，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.

（Ⅰ）若，

（i）求證：平面；

（ii）求直線與平面所成的角的大小；

（Ⅱ）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得平面與平面所成的銳角為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i）見解析（ii）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）（i）先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（ii）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得平面的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.（Ⅱ）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得兩平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（Ⅰ）（i）證明：連接交于點(diǎn)，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形.

∴又∵，

∴又∵平面，平面，

∴平面.

（ii）解：如圖，在平行四邊形中∵，，∴

以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

則，

∴

設(shè)為平面的法向量

則，得，不妨設(shè)

∴

又，∴

即直線與平面所成的角的大小為.

（Ⅱ）設(shè)

∴

∴

設(shè)為平面的法向量，

則得，，不妨設(shè)，

又平面的法向量為，

∴.

∴∴，，∴.