已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求；
（3）設(shè)，證明：.

(1)  (2)  （3）見解析

解析試題分析：
(1)當(dāng)帶入式子結(jié)合即可得到的值,當(dāng)時(shí),利用與的關(guān)系()即可得到是一個(gè)常數(shù),即可得到數(shù)列為等差數(shù)列,但是需要驗(yàn)證是否符合,進(jìn)而證明為等差數(shù)列,即可求的通項(xiàng)公式.
(2)把(1)中得到的的通項(xiàng)公式帶入可得,即為等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,故需要利用錯(cuò)位相減法來求的前n項(xiàng)和.
(3)把(1)得到的帶入,觀察的通項(xiàng)公式為分式,為求其前n項(xiàng)和可以考慮利用裂項(xiàng)求和法.進(jìn)行裂項(xiàng),在進(jìn)行求和就可以得到的前n項(xiàng)和為,利用非負(fù)即可證明原不等式.
試題解析：
（1）由題意，當(dāng)時(shí)，有，     （1分）
兩式相減得 即.           （2分）
由，得.
所以對一切正整數(shù)n，有，                        （3分）
故，即.                （4分）
（2）由（1），得，
所以 ①                           （5分）
①兩邊同乘以，得 ②          （6分）
①-②，得，                 （7分）
所以，                                    （8分）
故.                    （9分）
（3）由（1），得 （12分）

                  （13分）
.              （14分）
考點(diǎn)：裂項(xiàng)求和 錯(cuò)位相減 不等式

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給五人，使每人成等差數(shù)列，且使最大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小1份的大小是       

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在數(shù)列中，，．
（1）設(shè)．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

等比數(shù)列中，已知．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
（2）記,求的前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n(n∈N*)
（1）求：通項(xiàng)
（2）求和： 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知an+1=2Sn+2()
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，
①在數(shù)列{dn}中是否存在三項(xiàng)dm，dk，dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)，若不存在，說明理由；
②求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知n∈N*，數(shù)列{dn}滿足dn＝，數(shù)列{an}滿足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n.又知數(shù)列{bn}中，b1＝2，且對任意正整數(shù)m，n，.
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列{bn}中的第a1項(xiàng)，第a2項(xiàng)，第a3項(xiàng)，…，第an項(xiàng)刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前2013項(xiàng)和T2013.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為整數(shù)；②對于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；
（2）設(shè)(且N)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；
（3）若為正整數(shù)，求證：當(dāng)(N)時(shí)，都有.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，已知，2，N
（Ⅰ）求，，并求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和。

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