如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、
PC的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:EF⊥CD;
(3)若ÐPDA=45°求EF與平面ABCD所成的角的大。
【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運用,以及線面角的求解的綜合運用
第一問中,利用連AC,設(shè)AC中點為O,連OF、OE在△PAC中,∵
F、O分別為PC、AC的中點 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵
E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又 ∵
BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
第二問中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴
EO為EF在平面AC內(nèi)的射影
∴ CD⊥EF.
第三問中,若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC ∵
EOBC,F(xiàn)OPA
∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
證:連AC,設(shè)AC中點為O,連OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點∴ FO∥PA …………① 在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴
EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴
EF∥平面PAD.
(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵
FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影 ∴ CD⊥EF.
(3)若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC ∵ EOBC,F(xiàn)OPA
∴ FO=EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形
∴ ÐFEO=45°