Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

．
（1）證明：b+c=2a；
（2）如圖，點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，設(shè)∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，當(dāng)b=c時(shí)，求平面四邊形OACB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知條件化簡(jiǎn)可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（2）由條件和（1）的結(jié)論可得△ABC為等邊三角形，利用S_△OACB=S_△OAB+S_△OBC=

1

2

OA•OB•sinθ+

3

4

AB2，結(jié)合輔助角公式，可得平面四邊形OACB面積的最大值．

解答：（1）證明：∵

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a；
（2）解：∵b+c=2a，b=c，
∴a=b=c，∴△ABC為等邊三角形，
∴S_△OACB=S_△OAB+S_△OBC=

1

2

OA•OB•sinθ+

3

4

AB2=sinθ+

3

4

(OA2+OB2-2OA•OB•cosθ)
=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

．
∵0＜θ＜π，
∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

時(shí)取最大值，最大值為2+

5 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及余弦定理和三角形的面積，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確表示平面四邊形OACB面積是關(guān)鍵．