【題目】設橢圓方程為，過點的直線l交橢圓于點A，B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉時，求：

（1）動點P的軌跡方程；

（2）的最小值與最大值.

【答案】（1）；（2）當時，最小值為；當時，最大值為.

【解析】

（1）設出直線的方程和點A、B的坐標，聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可求出，然后根據(jù)求出點P的坐標，消去參數(shù)，即可得到動點P的軌跡方程，再檢驗當k不存在時，是否也滿足方程即可；

（2）根據(jù)點P的軌跡方程求得的取值范圍，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，消元，由二次函數(shù)的性質即可求出的最小值與最大值．

（1）直線l過點，設其斜率為k，則l的方程為．

設，，由題設可得點A、B的坐標是方程組的解．

將①代入②并化簡得，所以

于是，，

設點P的坐標為，

則消去參數(shù)k得，③

當k不存在時，A、B中點為坐標原點，也滿足方程③，

所以點P的軌跡方程為．

（2）點P的軌跡方變形為，

知，即．

所以

，

故當時，取得最小值，最小值為．

當時，取得最大值，最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點在橢圓上，為坐標原點，直線的斜率與直線的斜率乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）不經過點的直線（且）與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將正方形沿對角線折疊，使平面平面， 若直線平面，，．

求證：直線平面；

求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若是函數(shù)的導函數(shù)的零點，求的單調區(qū)間；

（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，，E為AB的中點．將沿DE翻折，得到四棱錐．設的中點為M，在翻折過程中，有下列三個命題：

①總有平面；

②線段BM的長為定值；

③存在某個位置，使DE與所成的角為90°．

其中正確的命題是_______．（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A是橢圓的上頂點，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點，點N在橢圓E上，且；

（1）當時，求的面積；

（2）當時，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，平面平面，點為棱的中點．

（Ⅰ）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；

（Ⅱ）當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校進入高中數(shù)學競賽復賽的學生中，高一年級有6人，高二年級有12人， 高三年級有24人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學生中抽取7人進行采訪．

(1）求應從各年級分別抽取的人數(shù)；

(2）若從抽取的7人中再隨機抽取2人做進一步了解（注高一學生記為，高二學生記為，高三學生記為，）

①列出所有可能的抽取結果；

②求抽取的2人均為高三年級學生的概率．

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