【題目】已知橢圓E:=1(a>b>0)過點(diǎn)A,離心率為,點(diǎn)F1,F2分別為其左、右焦點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)P,Q,且?若存在,求出該圓的方程,并求|PQ|的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)由橢圓的離心率為可得,故橢圓的方程為,再根據(jù)點(diǎn)A在橢圓上得到,于是可得方程為(2)假設(shè)滿足條件的圓存在,其方程為,然后分直線PQ的斜率存在和不存在兩種情況討論可得存在滿足題意得圓,其方程為;最后根據(jù)弦長公式和二次函數(shù)的知識(shí)得到|PQ|max=

(1)由題意得e=,

所以

故橢圓的方程為

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上,

所以,

解得,

所以橢圓E方程為.

(2)假設(shè)滿足條件的圓存在,其方程為.

①當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,

消去y整理得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0,

令P(x1,y1),Q(x2,y2),

則x1+x2=-,x1x2=.

,

∴x1x2+y1y2=0.

+m2=0.

∴5m2=4k2+4.

由直線PQ與圓相切,則r2=.

所以存在圓滿足題意,且圓的方程為.

②當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),也適合.

綜上所述,存在圓心在原點(diǎn)的圓滿足題意.

由弦長公式可得|PQ|=

.

又b2=k2+,

代入上式可得|PQ|=.

令4k2+1=t,即k2=,t≥1,

則|PQ|===,

當(dāng)時(shí),即k=±時(shí),|PQ|max=.

當(dāng)直線的斜率k不存在時(shí),|PQ|=|y1-y2|=,

綜上可得|PQ|max=.

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②任意x∈[0, ],都有f( ﹣x)+f( +x)=4;
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③廢品率x%和每噸生鐵成本y(元)之間的回歸直線方程為 ,這表明廢品率每增加1%,生鐵成本大約增加258元;
④為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用,把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設(shè)H0:“這種血清不能起到預(yù)防作用”,利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2的觀測值k≈3.918,經(jīng)查對(duì)臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05,由此,得出以下判斷:在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防的作用”.
正確的有(
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