【題目】已知p3+q3=2,求證:p+q≤2.

【答案】假設(shè)p+q>2,則q>2-p,

根據(jù)冪函數(shù)y=x3的單調(diào)性,得q3>(2-p)3,

即q3>8-12p+6p2-p3,

p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,

故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.

這與題設(shè)p3+q3=2矛盾,從而假設(shè)不成立.

故p+q≤2成立.

【解析】

利用反證法，假設(shè)結(jié)論不成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與整式的乘方運(yùn)算，構(gòu)造立方和的形式，證明假設(shè)的結(jié)論與題設(shè)矛盾，即可證得原結(jié)論正確.

假設(shè)p+q>2,則q>2-p,

根據(jù)冪函數(shù)y=x3的單調(diào)性,得q3>(2-p)3,

即q3>8-12p+6p2-p3,

p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,

故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.

這與題設(shè)p3+q3=2矛盾,從而假設(shè)不成立.

故p+q≤2成立.

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