Question

【題目】已知動點M（x，y）到直線ι：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：點M（x，y）到直線x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍，

則|x﹣4|=2 ，即（x﹣4）2=4（x﹣1）2+4y2，整理得 ，

所以，動點M的軌跡是橢圓，方程為

（2）解：P（0，3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由A是PB的中點，得2x1=x2，橢圓的上下頂點坐標分別是（0，3）和（0，﹣3），

經(jīng)檢驗直線m不經(jīng)過這兩點，即直線m的斜率k存在，

設(shè)直線m的方程為y=kx+3，聯(lián)立 ，得 ，

所以 ，得 ，

設(shè)直線m的方程為 ，則 ，得

【解析】（1）由已知得|x﹣4|=2 ，由此能求出動點M的軌跡方程．（2）P（0，3），設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由A是PB的中點，得2x1=x2 ， 設(shè)直線m的方程為y=kx+3，代入橢圓，得（3+4k2）x2+24kx+24=0，由此能求出點A的坐標．