Question

為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”．比賽成績共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個等級．從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，并把他們的比賽成績按這五個等級進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)表：

成績等級	A	B	C	D	E
成績（分）	90	70	60	40	30
人數(shù)（名）	4	6	10	7	3

（Ⅰ）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，若從該地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生（參賽人數(shù)很多）中任選3人，記X表示抽到成績等級為“A或B”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅲ）從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，求“這兩個人的成績之差大于20分”的概率．

Answer 1

解：（I）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的30名小學(xué)生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率為=，
即從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率為．
（II）由題意知隨機(jī)變量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C（）⁰（）³=；P（X=1）=C（）¹（）²=；
P（X=2）=C（）²（）=；
P（X=3）=C（）³（）⁰=；
所以X的分布列為（必須寫出分布列，否則扣1分）

X	0	1	2	3
P

…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=1，所求期望值為1．
（III）設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個人的成績之差大于20分．
設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記兩個人的成績分別為m，n．
則基本事件的總數(shù)為，
不妨設(shè)m＞n，
當(dāng)m=90時，n=60或40或30，基本事件的數(shù)為C（C+C+C）；
當(dāng)m=70時，n=40或30，基本事件的數(shù)為C（C+C）；
當(dāng)m=60時，n=30，基本事件的數(shù)為CC；
∴P（M）==．
∴從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，“這兩個人的成績之差大于20分”的概率為．
分析：（I）本題是一個統(tǒng)計(jì)問題，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從而得出從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率得到結(jié)果．
（II）由題意知由題意知隨機(jī)變量X可取0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和做出期望值．
（III）設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個人的成績之差大于20分．設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記兩個人的成績分別為m，n．得到基本事件的總數(shù)，不妨設(shè)m＞n，再對m，n的取值情形進(jìn)行分類討論算出各自的基本事件數(shù)，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可求得事件M的概率．
點(diǎn)評：本題考查等可能事件的概率，考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個典型的綜合題目．