（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”．比賽成績(jī)共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績(jī)共分五個(gè)等級(jí)．從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，并把他們的比賽成績(jī)按這五個(gè)等級(jí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)表：
成績(jī)等級(jí) A B C D E
成績(jī)（分） 90 70 60 40 30
人數(shù)（名） 4 6 10 7 3
（Ⅰ）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，若從該地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生（參賽人數(shù)很多）中任選3人，記X表示抽到成績(jī)等級(jí)為“A或B”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅲ）從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，求“這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分”的概率．
分析：（I）本題是一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從而得出從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A 或B”的概率得到結(jié)果．
（II）由題意知由題意知隨機(jī)變量X可取0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列和做出期望值．
（III）設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分．設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記兩個(gè)人的成績(jī)分別為m，n．得到基本事件的總數(shù)，不妨設(shè)m＞n，再對(duì)m，n的取值情形進(jìn)行分類討論算出各自的基本事件數(shù)，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可求得事件M的概率．
解答：解：（I）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的30名小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A 或B”的概率為
4
30
+
6
30
=
1
3
，
即從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A 或B”的概率為
1
3
．
（II）由題意知隨機(jī)變量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C
 
0
3
（
1
3
）0（
2
3
）3=
8
27
；P（X=1）=C
 
1
3
（
1
3
）1（
2
3
）2=
4
9
；
P（X=2）=C
 
2
3
（
1
3
）2（
2
3
）=
2
9
；
P（X=3）=C
 
3
3
（
1
3
）3（
2
3
）0=
1
27
；
所以X的分布列為（必須寫(xiě)出分布列，否則扣1分）
X 0 1 2 3
P
8
27
4
9
2
9
1
27
…（11分）
故Eξ=0×
8
27
+1×
4
9
+2×
2
9
+3×
1
27
=1，所求期望值為1．
（III）設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分．
設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記兩個(gè)人的成績(jī)分別為m，n．
則基本事件的總數(shù)為
C
2
30
，
不妨設(shè)m＞n，
當(dāng)m=90時(shí)，n=60或40或30，基本事件的數(shù)為C
 
1
4
（C
 
1
10
+C
 
1
7
+C
 
1
3
）；
當(dāng)m=70時(shí)，n=40或30，基本事件的數(shù)為C
 
1
6
（C
 
1
7
+C
 
1
3
）；
當(dāng)m=60時(shí)，n=30，基本事件的數(shù)為C
 
1
10
C
 
1
3
；
∴P（M）=
C
1
4
(
C
1
10
+
C
1
7
+
C
1
3
)+
C
1
6
(
C
1
7
+
C
1
3
)+
C
1
10
C
1
3
C
2
30
=
34
87
．
∴從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，“這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分”的概率為
34
87
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)典型的綜合題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）為了解某市今年初二年級(jí)男生的身體素質(zhì)狀況，從該市初二年級(jí)男生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲實(shí)心球”的項(xiàng)目測(cè)試．成績(jī)低于6米為不合格，成績(jī)?cè)?至8米（含6米不含8米）的為及格，成績(jī)?cè)?米至12米（含8米和12米，假定該市初二學(xué)生擲實(shí)心球均不超過(guò)12米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五組，畫(huà)出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0米到12米之間．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值及參加“擲實(shí)心球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)此次測(cè)試成績(jī)的結(jié)果，試估計(jì)從該市初二年級(jí)男生中任意選取一人，“擲實(shí)心球”成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；
（Ⅲ）若從此次測(cè)試成績(jī)不合格的男生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測(cè)試，求所抽取的2名學(xué)生來(lái)自不同組的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知等差數(shù)列{an}的公差為-2，a3是a1與a4的等比中項(xiàng)，則首項(xiàng)a1=
8
8
，前n項(xiàng)和Sn=
-n2+9n
-n2+9n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a•2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F(x)=
f(x)，x＞0
-f(x)，x＜0
給出下列命題：
①F（x）=|f（x）|； 
②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；
③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正確命題的序號(hào)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則
PA
•
PC1
的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且f（A）=2cos
A
2
sin(π-
A
2
)+sin2
A
2
-cos2
A
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（A）的最大值；
（Ⅱ）若f(A)=0，C=
5π
12
，a=
6
，求b的值．

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