Question

【題目】如圖，一顆棋子從三棱柱的一個項點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為，剛開始時，棋子在上底面點處，若移了次后，棋子落在上底面頂點的概率記為.

（1）求，的值：

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1），.（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可知在上底面點處，移了次可落在的任意一點，可得；分類討論當(dāng)?shù)谝淮温湓?/span>或落在處的概率，即可得.

（2）根據(jù)移了次后棋子落在上底面頂點的概率為，可知落在下底面頂點的概率為，進而可得與的遞推公式，利用構(gòu)造數(shù)列法可得的通項公式；利用數(shù)學(xué)歸納法，即可證明成立.

（1）從三棱柱的一個項點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為，棋子在上底面點處，移了次可落在的任意一點，

所以，

若移次，則再移到上底面的概率為，移到上底面的概率為，

所以.

（2）證明：因為移了次后棋子落在上底面頂點的概率為，故落在下底面頂點的概率為.

于是移了次后棋子落在上底面頂點的概率為.

從而.

所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，公比為.

所以.

即.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，左式，右式，因為，所以不等式成立.

當(dāng)時，左式，右式，因為，所以不等式成立.

②假設(shè)時，不等式成立，即.

則時，左式.

要證，只要證.

只要證.

只要證.

只要證.

因為，所以，

所以.即時，不等式也成立.

由①②可知，不等式對任意的都成立.

不等式得證.