Question

【題目】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AD，DD1的中點．

求證：(1)EF∥平面C1BD；

(2)A1C⊥平面C1BD.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）利用三角形中位線性質(zhì)得EF∥AD1。即得EF∥BC1，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）由正方體性質(zhì)得AA1⊥BD，再根據(jù)正方形性質(zhì)得AC⊥BD，可由線面垂直判定定理得BD⊥平面AA1C，即得A1C⊥BD.類似可得A1C⊥BC1，即證得A1C⊥平面C1BD.

試題解析：證明　(1)如圖，連接AD1，

∵E，F分別是AD和DD1的中點，

∴EF∥AD1.

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，

即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.

又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，

∴EF∥平面C1BD.

(2)如圖，連接AC，則AC⊥BD.

∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，

∴BD⊥平面AA1C，A1C平面AA1C，

∴A1C⊥BD.

同理可證A1C⊥BC1.

又BD∩BC1＝B，BD平面C1BD，BC1平面C1BD，

∴A1C⊥平面C1BD.

點睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.