【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=f(x),f(x+8)=f(x),且當(dāng)x∈(0,4]時(shí)f(x)= ,關(guān)于x的不等式f2(x)+af(x)>0在[﹣2016,2016]上有且只有2016個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣ ln6,ln2]
B.(﹣ln2,﹣ ln6)
C.(﹣ln2,﹣ ln6]
D.(﹣ ln6,ln2)
【答案】C
【解析】解:∵函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=f(x),f(x+8)=f(x),
∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且周期是8,則在[﹣2016,2016]上共有504個(gè)周期,
∵不等式在[﹣2016,2016]上有且只有2016個(gè)整數(shù)解,∴在一個(gè)周期上有且只有4個(gè)整數(shù)解,
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得,在(0,4]上有且只有2個(gè)整數(shù)解,
∵當(dāng)x∈(0,4]時(shí)f(x)= ,∴則f′(x)= ,
當(dāng)f′(x)>0得1﹣ln(2x)>0,即ln(2x)<1,
即0<2x<e,即0<x< ,
由f′(x)<0得1﹣ln(2x)<0,得ln(2x)>1,
即2x>e,即x> ,
即當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,同時(shí)也是最大值
f( )= = ,
即當(dāng)0<x< 時(shí),f(x)< 有一個(gè)整數(shù)解1,
當(dāng)x> 時(shí),0<f(x)< 有無數(shù)個(gè)整數(shù)解,
①若a=0,則f2(x)+af(x)>0得f2(x)>0,此時(shí)有無數(shù)個(gè)整數(shù)解,不滿足條件.
②若a>0,
則由f2(x)+af(x)>0得f(x)>0或f(x)<﹣a,
當(dāng)f(x)>0時(shí),不等式由無數(shù)個(gè)整數(shù)解,不滿足條件.
③當(dāng)a<0時(shí),由f2(x)+af(x)>0得f(x)>﹣a或f(x)<0,
當(dāng)f(x)<0時(shí),沒有整數(shù)解,
則要使當(dāng)f(x)>﹣a有兩個(gè)整數(shù)解,
∵f(1)=ln2,f(2)= =ln2,f(3)= ,
∴當(dāng)f(x)≥ln2時(shí),函數(shù)有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)1,2,當(dāng)f(x)≥ 時(shí),函數(shù)有3個(gè)整數(shù)點(diǎn)1,2,3
∴要使f(x)>﹣a有兩個(gè)整數(shù)解,
則 ≤﹣a<ln2,即﹣ln2<a≤﹣ ln6,
故選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如下圖,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連接BE。
填空:①∠AEB的度數(shù)為____________;
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是_________。
(2)拓展探究
如下圖,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900, 點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE。請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由。
(3)解決問題
如下圖,在正方形ABCD中,CD=。若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900,請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2,則異面直線EF與BC所成角大小為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取某高中甲、乙兩個(gè)班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.
(1)甲班和乙班同學(xué)身高的中位數(shù)各是多少?并計(jì)算甲班樣本的方差.
(2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名身高不低于173 cm的同學(xué),求身高為176 cm的同學(xué)被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a和b是計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,2)上產(chǎn)生的均勻隨機(jī)數(shù),則一元二次不等式ax2+4x+4b>0(a>0)的解集不是R的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓上的動點(diǎn), 的坐標(biāo)為, 在線段上,滿足.
(Ⅰ)求的軌跡的方程.
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ= ,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系,點(diǎn)M(﹣1,0),直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程;
(Ⅱ)求線段MA、MB長度之積MAMB的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,焦距長為2,左準(zhǔn)線為: .
(1)求橢圓的方程及其離心率;
(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓于, 兩點(diǎn),且為線段的中點(diǎn),求直線的方程;
(3)過橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引圓: 的兩條切線,切點(diǎn)分別為, .試探究直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請求出該定點(diǎn);否則,請說明理由.
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