【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點，其右焦點為．點是橢圓上異于長軸端點的任意一點，連接并延長交橢圓于點，線段的中點為，為坐標原點，且直線與右準線交于點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求點的坐標．

【答案】（1）（2）或．

【解析】

（1）由離心率得出a、b、c的等量關(guān)系，再將點A的坐標代入橢圓方程，可求出a、b、c的值，從而得出橢圓C的標準方程；（2）解法1：設(shè)點P（x0，y0）（y0≠0），對PF與x軸是否垂直進行分類討論，在兩種情況下求中點M的坐標，寫出直線OM的方程，并求出點N的坐標，結(jié)合條件MN＝2OM以及點P的坐標橢圓C的方程可求出點P的坐標；解法2：對直線PQ與x軸是否垂直進行分類討論，在第一種情況PQ⊥x軸時，分別求出點M、N的坐標，并對條件MN＝2OM進行驗證是否滿足題意；第二種情況就是直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達定理，并求出線段PQ的中點M的坐標，由MN＝2ON得出k的值，從而得出點P的坐標．

（1）由題意可知解得，，

所以橢圓的標準方程為．

（2）法1：設(shè)（）．

當時，點坐標為，點坐標為，，不符合題意；

當時，直線的方程為，代入的方程，消去整理得

，

所以中點的橫坐標，因為，橢圓的右準線為，所以，從而，即． 又因為，所以，解得或，故點的坐標為或．

法2：當直線的斜率不存在時，點坐標為，點坐標為，，不符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線：，聯(lián)立得

，所以中點的橫坐標，因為，橢圓的右準線為，所以，從而，解之得．當時，：，聯(lián)立得或；

當時，：，聯(lián)立得或．

故點的坐標為或．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學生對某小區(qū)30位居民的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示他們的飲食指數(shù)(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的，飲食以肉類為主).

（1）根據(jù)莖葉圖，說明這30位居民中50歲以上的人的飲食習慣；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表；

主食蔬菜

主食肉類

總計

50歲以下

50歲以上

總計

（3）能否有99％的把握認為居民的飲食習慣與年齡有關(guān)?

獨立性檢驗的臨界值表

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年9月16日下午5時左右，今年第22號臺風“山竹”在廣東江門川島鎮(zhèn)附近正面登陸，給當?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a(chǎn)損失，某記者調(diào)查了當?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成，，，，五組，并作出如下頻率分布直方圖.

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖估計該小區(qū)居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失的眾數(shù)和平均值.

（Ⅱ）“一方有難，八方支援”，臺風后居委會號召小區(qū)居民為臺風重災(zāi)區(qū)捐款，記者調(diào)查的100戶居民捐款情況如下表格，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有99%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)？

（Ⅲ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟損失超過元的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列及期望.

參考公式：，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點是弧上的一點，點是弧的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）當且時，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且．

(1)判斷函數(shù)的奇偶性；

(2) 判斷函數(shù)在(1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；

(3)若，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入（萬元）滿足，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，完成下列問題：

（1）寫出利潤函數(shù)的解析式（利潤=銷售收入－總成本）；

（2）甲廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點．

（Ⅰ）若直線過焦點，且與圓交于（其中在軸同側(cè)），求證： 是定值；

（Ⅱ）設(shè)拋物線在和點的切線交于點，試問： 軸上是否存在點，使得為菱形？若存在，請說明理由并求此時直線的斜率和點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高校數(shù)學與統(tǒng)計學院為了對2018年錄取的大一新生有針對性地進行教學.從大一新生中隨機抽取40名，對他們在2018年高考的數(shù)學成績進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)40名新生的數(shù)學分數(shù)分布在內(nèi).當時，其頻率.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）請在答題卡中畫出這40名新生高考數(shù)學分數(shù)的頻率分布直方圖，并估計這40名新生的高考數(shù)學分數(shù)的平均數(shù)；

（Ⅲ）從成績在100～120分的學生中，用分層抽樣的方法從中抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選兩人甲、乙，記甲、乙的成績分別為，求概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當時， 取得極值，求的值；

（Ⅱ）當函數(shù)有兩個極值點，且時，總有 成立，求的取值范圍.

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