Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，令，只需，由，討論的取值范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

（Ⅱ）將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求出，討論的取值范圍，當時，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，確定的符號，進而可到的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求解.

（Ⅰ），

令，即，，

∵，

①當時，，，，

∴在，上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增；

②當時，，在上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）當時，在上恒成立，

即在上恒成立，

令，則，

當時，在上，都有，，

即恒成立，與題意矛盾；

當時，令，，

當時，恒成立，

當時，，在上單調(diào)遞減，，

①若，即，時，，

∴，在上單調(diào)遞減，∴成立，

②當，即，，

∴存在使得，，，，，

在單調(diào)遞增，∴存在使得與題意矛盾，

綜上所述.