【題目】已知圓的圓心為，點是圓內(nèi)一個定點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）給定點，設(shè)直線不經(jīng)過點且與軌跡相交于，兩點，以線段為直徑的圓過點.證明：直線過定點.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及橢圓的定義，即可得出動點的軌跡的方程；

（2）根據(jù)圓的性質(zhì)得出，再將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為，討論直線斜率的存在性，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理以及，得出，從而確定直線過定點.

（1）如圖，由已知，圓心，半徑.

∵點在線段的垂直平分線上，則

又，∴

又∵，∴

則動點的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓

從而，，，

故所求軌跡方程為.

（2）由已知，，則，

若的斜率不存在，設(shè)，由題設(shè)知，且

此時，，，，

則，解得，不符合題設(shè).

若的斜率存在，設(shè)

將代入得

由題設(shè)可知

設(shè)，，則，

，，從而

即

化簡得，解得（舍去）或

此時成立，于是

故直線過定點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）定義：對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)的不動點. 如果函數(shù)存在兩個不同的不動點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某社會機構(gòu)為了調(diào)查對手機游戲的興趣與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：

40歲以下

40歲以上

合計

很興趣

30

15

45

無興趣

20

35

55

合計

50

50

100

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為對手機游戲的興趣程度與年齡有關(guān)？

（2）若已經(jīng)從歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了名，現(xiàn)從這名被調(diào)查者中隨機選取名，求這名被調(diào)查者中恰有名對手機游戲無興趣的概率.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.84

6.635

10.828

（注：參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前55項和為( )

A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨機調(diào)查某城市80名有子女在讀小學(xué)的成年人，以研究晚上八點至十點時間段輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：

　　　　是否輔導(dǎo)

性別

輔導(dǎo)

不輔導(dǎo)

合計

男

25

60

女

合計

40

80

（1）請將表中數(shù)據(jù)補充完整；

（2）用樣本的頻率估計總體的概率，估計這個城市有子女在讀小學(xué)的成人女性晚上八點至十點輔導(dǎo)子女作業(yè)的概率；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%以上的把握認(rèn)為“晚上八點至十點時間段是否輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別有關(guān)？”.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于，兩點，已知點，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，的極坐標(biāo)方程分別為，，交曲線E于點A，B，交曲線E于點C，D.

（1）求曲線E的普通方程及極坐標(biāo)方程；

（2）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號，鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機選取45名學(xué)生進行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占，統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表：

分?jǐn)?shù)不少于120分

分?jǐn)?shù)不足120分

合計

線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時

4

19

線上學(xué)習(xí)時間不足5小時

合計

45

（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”；

（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.

（下面的臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式其中）

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