【題目】已知， ，其中是自然常數(shù)， .

（1）當時，求的極值，并證明恒成立；

（2）是否存在實數(shù)，使的最小值為 ？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的極小值，令，求出h（x）的最大值，從而證出結論即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，求出a的值即可．

試題解析：

（1）證明：∵， .∴當時， ，此時單調(diào)遞減；當時， ，此時單調(diào)遞增.∴的極小值為.即在上的最小值為 .令， ，當時， ， 在上單調(diào)遞增，∴，∴恒成立.

（2）假設存在實數(shù)，使有最小值 ， .

①當時， 在上單調(diào)遞減， ， （舍去），∴時，不存在使的最小值為3.

②當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴， ，滿足條件.

③當時， 在上單調(diào)遞減， ，（舍去），∴時，不存在使的最小值為 .

綜上，存在實數(shù)，使得當時， 有最小值 .

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點，關于原點對稱，恰為拋物線： 的焦點，點在拋物線上，且線段的中點恰在軸上，的面積為8.若拋物線上存在點使得，則實數(shù)的最大值為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知 =（1，2）， =（﹣3，2），當k為何值時，
（1）k 與 垂直？
（2）k 與 夾角為鈍角？

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【題目】中， 是的中點， ，其周長為，若點在線段上，且．

（1）建立合適的平面直角坐標系，求點的軌跡的方程；

（2）若是射線上不同兩點， ，過點的直線與交于，直線與交于另一點．證明： 是等腰三角形．

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【題目】已知向量 滿足 ，若M為AB的中點，并且 ，則λ+μ的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是矩形， 平面， 是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若， ，求證平面平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個不同的零點.

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個零點分別為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學組織了一次高二文科學生數(shù)學學業(yè)水平模擬測試，學校從測試合格的男、女生中各隨機抽取100人的成績進行統(tǒng)計分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學成績的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）若所得分數(shù)大于等于80分認定為優(yōu)秀，求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人？

（Ⅱ）在（Ⅰ）中的優(yōu)秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）設m，n，k為正實數(shù)，且m+n+k=f（0），求證：mn+mk+nk≤ ．

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