【題目】正三棱錐P﹣ABC中,CM=2PM,CN=2NB,對(duì)于以下結(jié)論:
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是( ,π);
②若MN⊥AM,則PC與平面PAB所成角的大小為 ;
③過(guò)點(diǎn)M與異面直線PA和BC都成 的直線有3條;
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ,則過(guò)點(diǎn)N與平面PAC和平面PAB都成 的直線有3條.
正確的序號(hào)是

【答案】①②④
【解析】解:①設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為1,過(guò)B作BD⊥PA,連結(jié)CD,則∠BDC是二面角B﹣PA﹣C大小,因?yàn)榈酌嫒切蜛BC是正三角形,所以∠CAB= ,所以當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限靠近點(diǎn)O時(shí),即高無(wú)限小時(shí),∠BDC接近 ,所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是( ,π),所以①正確.
②因?yàn)镃M=2PM,CN=2NB,所以MN∥PB.若MN⊥AM,則PB⊥AM,因?yàn)镻﹣ABC是正三棱錐,所以P在底面的射影是底面的中心,所以PB⊥AC,因?yàn)锳M∩AC=A,所以PB⊥面PAC,因?yàn)镻﹣ABC是正三棱錐,所以必有PC⊥面PAB,所以PC與平面PAB所成角的大小為 ,所以②正確.
③因?yàn)橐驗(yàn)镻﹣ABC是正三棱錐,所以P在底面的射影是底面的中心,所以PA⊥BC.所以過(guò)點(diǎn)M與異面直線PA和BC都成 的直線有兩條,所以③錯(cuò)誤.
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ,則∠BDC= ,此時(shí)∠EDC= ,(其中E是BC的中點(diǎn)), ,所以此時(shí)直線BC與平面PAC和平面PAB都成 ,又因?yàn)槠矫鍼AC和平面PAB的法向量的夾角為 ,此時(shí)適當(dāng)調(diào)整過(guò)N的直線,可以得到兩條直線使得過(guò)點(diǎn)N與平面PAC和平面PAB都成 ,所以滿足過(guò)點(diǎn)N與平面PAC和平面PAB都成 的直線有3條. 所以④正確.
所以答案是:①②④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】微信運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)手環(huán)的普及,增強(qiáng)了人民運(yùn)動(dòng)的積極性,每天一萬(wàn)步稱為一種健康時(shí)尚,某中學(xué)在全校范圍內(nèi)內(nèi)積極倡導(dǎo)和督促師生開(kāi)展“每天一萬(wàn)步”活動(dòng),經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的扎實(shí)落地工作后,學(xué)校想了解全校師生每天一萬(wàn)步的情況,學(xué)校界定一人一天走路不足千步為不健康生活方式,不少于千步為超健康生活方式者,其他為一般生活方式者,學(xué)校委托數(shù)學(xué)組調(diào)查,數(shù)學(xué)組采用分層抽樣的辦法去估計(jì)全校師生的情況,結(jié)合實(shí)際及便于分層抽樣,認(rèn)定全校教師人數(shù)為人,高一學(xué)生人數(shù)為人,高二學(xué)生人數(shù)人,高三學(xué)生人數(shù),從中抽取人作為調(diào)查對(duì)象,得到了如圖所示的這人的頻率分布直方圖,這人中有人被學(xué)校界定為不健康生活方式者.

(1)求這次作為抽樣調(diào)查對(duì)象的教師人數(shù);

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生每人一天走路步數(shù)的中位數(shù)(四舍五入精確到整數(shù)步);

(3)校辦公室欲從全校師生中速記抽取人作為“每天一萬(wàn)步”活動(dòng)的慰問(wèn)對(duì)象,計(jì)劃學(xué)校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓勵(lì)元,超健康生活方式者表彰獎(jiǎng)勵(lì)元,一般生活方式者鼓勵(lì)性獎(jiǎng)勵(lì)元,利用樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,求這次校辦公室慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額恰好為元的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,a=
(1)求bcosC+ccosB的值;
(2)若cosA= ,求b+c的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的交通安全教育,對(duì)學(xué)校旁邊兩個(gè)路口進(jìn)行了8天的檢測(cè)調(diào)查,得到每天各路口不按交通規(guī)則過(guò)馬路的學(xué)生人數(shù)(如莖葉圖所示),且路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)比路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)小2.

(1)求出路口8個(gè)數(shù)據(jù)中的中位數(shù)和莖葉圖中的值;

(2)在路口的數(shù)據(jù)中任取大于35的2個(gè)數(shù)據(jù),求所抽取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)不小于40的概率.

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【題目】下列關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題:
p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;
p3:數(shù)列 是遞增數(shù)列;
p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列;
其中真命題是(
A.p1 , p2
B.p3 , p4
C.p2 , p3
D.p1 , p4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為3 ,b﹣c=2,cosA=﹣
(1)求a和sinC的值;
(2)求cos(2A+ )的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0,對(duì)一切x∈R恒成立,q:函數(shù)f(x)=(3﹣2a)x是增函數(shù),若p或q為真,p且q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列命題正確的是(
A.已知實(shí)數(shù)a,b,則“a>b”是“a2>b2”的必要不充分條件
B.“存在x0∈R,使得 ”的否定是“對(duì)任意x∈R,均有x2﹣1>0”
C.函數(shù) 的零點(diǎn)在區(qū)間 內(nèi)
D.設(shè)m,n是兩條直線,α,β是空間中兩個(gè)平面,若m?α,n?β,m⊥n,則α⊥β

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= cos2x+sin2(x+ ). (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[﹣ , )時(shí),求f(x)的取值范圍.

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