【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2) .
【解析】試題分析:
(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得, ,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)原問(wèn)題等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)根,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)存在零點(diǎn)的充要條件可得:當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根.
試題解析:
(1)依題意,得, .
令,即,解得;
令,即,解得,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由題得, .
依題意,方程有實(shí)數(shù)根,
即函數(shù)存在零點(diǎn),
又,
令,得.
當(dāng)時(shí), ,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
而, ,
所以函數(shù)存在零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), , 隨的變化情況如表:
|
|
|
|
| 極小值 |
所以為函數(shù)的極小值,也是最小值.
當(dāng),即時(shí),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn);
當(dāng),即時(shí),注意到, ,
所以函數(shù)存在零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2 .
(1)證明:直線B1D1⊥平面ACC2A2;
(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元,需加工處理費(fèi)多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ), =(﹣1,0).
(1)求向量 的長(zhǎng)度的最大值;
(2)設(shè)α= ,且 ⊥( ),求cosβ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在直三棱柱中,平面側(cè)面,且.
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來(lái)”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到表格:(單位:人)
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計(jì) | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計(jì) | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
(ii)從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,其中…是然對(duì)數(shù)底數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),求使不等式在一切實(shí)數(shù)上恒成立的最大正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)當(dāng)a>1時(shí),求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)若函數(shù)y=|f(x)﹣t|﹣1有三個(gè)零點(diǎn),求t的值;
(Ⅲ)若存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,試求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購(gòu)入每臺(tái)價(jià)值2000元的電視機(jī)共3600臺(tái),每批購(gòu)入的臺(tái)數(shù)相同,且每批均須付運(yùn)費(fèi)400元,儲(chǔ)存購(gòu)入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電視機(jī)的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比.若每批購(gòu)入400臺(tái),則全年需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)43600元.現(xiàn)在全年只有24000元可用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi),請(qǐng)問(wèn)能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量,使這24000元的資金夠用?寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=a﹣ (a∈R).
(1)請(qǐng)你確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(2)用單調(diào)性定義證明,無(wú)論a為何值,f(x)為增函數(shù).
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