Question

點M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．
（I）若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點F（1，0），設(shè)過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動時，恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可求得圓的半徑，及M到y(tǒng)軸的距離，進而根據(jù)圓M與x軸相切求得，r=

b2

a

．求得a和b的關(guān)系式，進而根據(jù)c=

3

求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）先看當(dāng)直線與x軸垂直時，把x=1代入橢圓方程求得y_A的表達式，進而根據(jù)|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立求得a的范圍；再看l不垂直于x軸時，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）及直線方程，把直線方程代入橢圓方程消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，根據(jù)|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，看當(dāng)當(dāng)a²-a²b²+b²＞0對k∈R不是恒成立的．當(dāng)a2-a2b2+b2=0時，a=

1+ 5

2

，恒成立．當(dāng)a²-a²b²+b²＜0時恒成立，進而推斷出a²＜（a²-1）b²=b⁴，求得a的范圍．最后綜合可得答案．

解答：解：（I）∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓的半徑r=2，
∴M到y(tǒng)軸的距離d=

3

又圓M與x軸相切，∴當(dāng)x=c時，得y2=

b4

a2

，∴r=

b2

a

．
∴

b2

a

=2，c=

3

∵a²-b²=c²，
∴a²-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），則b²=2a=6．
故所求橢圓方程為

x2

9

+

y2

6

=1．
（II）①當(dāng)直線l垂直于x軸時，把x=1代入，得

y

2 A

=

b2(a2-1)

a2

．
∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴2(1+

y

2 A

)＜4

y

2 A

，

y

2 A

＞1，即

a2-1

a

＞1．
解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

（舍去），即a＞

1+ 5

2

．
②當(dāng)l不垂直x軸時，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=k(x-1)，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1
得（b²+a²k²）x²-2a²k²x+a²k²-a²b²=0，
則x1+x2=

2a2bk2

b2+a2k2

，x1x2=

a2k2-a2b2

b2+a2k2

∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²＜（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=

(a2-a2b2+b2)k2-a2b2

b2+a2k2

，
由題意得，（a²-a²b²+b²）k²-a²b²＜0對k∈R恒成立．
當(dāng)a²-a²b²+b²＞0對k∈R不是恒成立的．
當(dāng)a2-a2b2+b2=0時，a=

1+ 5

2

，恒成立．
當(dāng)a²-a²b²+b²＜0時恒成立，∴a²＜a²b-b²，即a²＜（a²-1）b²=b⁴，
∵a＞0，b＞0，
∴a＜b²，即a＜a²-1，
∴a²-a-1＞0，解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

，即a＞

1+ 5

2

．
綜上，a的取值范圍是[

1+ 5

2

，+∞)

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內(nèi)容，平時應(yīng)加強訓(xùn)練．