Question

已知點M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．
（1）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；
（2）若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，應該先設出點M的坐標及圓的半徑，利用題中的條件建立方程求解即可；
（2）由題意利用所給的條件信息及（1）中的圓的半徑與a，b的關系和離心率進而求解出橢圓的方程．

解答：解：（1）設M（x₀，y₀），圓M的半徑為r．
因為橢圓的右焦點的坐標為（c，0），圓M與x軸相切于點F，
所以MF⊥x軸，所以x₀=c，r=|y₀|①
因為點M在橢圓上，所以

x02

a2

+

y02

b2

=1
將上式代入上式得

c2

a2

+

r2

b2

=1，

r2

b2

=1-

c2

a2

=

a2-c2

a2

因為a²-c²=b²所以

r2

b2

=

b2

a2

即：r=

b2

a

②
又因為圓M與y軸相切，所以M到y(tǒng)軸的距離等于半徑r，即：r=|x₀|③
由①，②，③得

b2

a

=c即：b²=ac從而得c²+ac-a²=0
兩邊同除以a²，得：（(

c

a

)2+(

c

a

)-1=0，e=

c

a

，e²+e-1=0
解得：e=

-1± 5

2

因為e∈（0，1）
            故：e=

5 -1

2

．
（2）因為△ABM是邊長為2的正三角形，所以圓M的半徑r=2，
M到圓y軸的距離d=

3

又由（1）知：r=

b2

a

，d=c
所以，c=

3

，

b2

a

=2又因為a²-b²=c²
從而有a²-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）b²=2a=6
所求橢圓方程是：

x2

9

+

y2

6

=1

點評：（1）此問重點考查了利用方程的思想先設出變量在利用條件進行建立方程求解，還考查了橢圓的基本性質(zhì)和學生的運算能力；
（2）此問重點考查了利用所給信息先簡化變量，還考查了一元二次方程的求解方法．