已知二次函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)t滿足關(guān)f(2+t)=f(2-t).且f(x)有最小值-9.又知函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),它們之間距離為6,求函數(shù)f(x)的解析式.

解法一:(待定系數(shù)法之一般解析式)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

∵f(2+t)=f(2-t),

∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=2.

∴-=2.          ①

又∵f(x)有最小值為-9,

=-9.          ②

又∵f(x)的圖象與x軸兩交點(diǎn)距離為6,則6=|x1-x2|=,             ③

聯(lián)立①②③解方程組得a=1,b=-4,c=-5.

∴f(x)=x2-4x-5.

解法二:(待定系數(shù)法之頂點(diǎn)式)設(shè)f(x)=a(x-2)2-9.由于只含有一個(gè)待定系數(shù)a,因此會(huì)大大縮短解題過(guò)程,應(yīng)視為一個(gè)較優(yōu)方案.

展開化簡(jiǎn)得f(x)=ax2-4ax+4a-9,

于是x1+x2=4,x1x2=4a-9.

由③得6=,解得a=1,因此f(x)=x2-4x-5.

解法三:(待定系數(shù)法之標(biāo)根式)∵函數(shù)圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn),且又知x=2為其對(duì)稱軸,有|AB|=6,故知x1=2-3=-1,x2=2+3=5,于是可設(shè)f(x)=a(x+1)(x-5),從二次函數(shù)圖象性質(zhì)知x=2時(shí),f(x)min=-9,故f(2)=a(2+1)(2-5)=-9,解得a=1.因此f(x)=x2-4x-5.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=
5
2
-x
有等根
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)在定義域(-1,t]上的值域?yàn)椋?1,1],求t的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m<n),使f(x)定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],若存在,求出m、n的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1
的圖象過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱,記函數(shù) h(x)=
x
f(x)

(I)求b,c的值;
(Ⅱ)當(dāng)a=
1
10
時(shí),求函數(shù)y=h(x)
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)試討論函數(shù) y=h(x)的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根,當(dāng)a>0時(shí)判斷f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)若方程g(x)=x的兩實(shí)根為x1,x2f(x)=0的兩根為x3,x4,求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳,若對(duì)任意的x∈A,不等式x2-4x+k≥0成立,則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根,當(dāng)a>0時(shí)判斷f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)當(dāng)b=2a時(shí),問(wèn)是否存在x的值,使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a,不等式f(x)<4恒成立?并說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案