已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個不相等的實根,當a>0時判斷f(x)在(-1,1)上的單調性;
(3)若方程g(x)=x的兩實根為x1,x2f(x)=0的兩根為x3,x4,求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)可得b=0,得到g(x)=
-1
a2x
,定義域為{x|x≠0},再結合奇函數(shù)的定義可得答案.
(2)由方程g(x)=x有兩個不相等的實根,可得△=b2-4a2>0,即
b
2a
>1或
b
2a
<-1
,再結合二次函數(shù)的性質即可判斷好的f(x)的單調性.
(3)由題意可得:
a2x2+bx+1=0
ax2+bx+1=0
,設α為x1與x2中的一個數(shù),則有
a2α2+bα+1=0
(α-x3)(α-x4)<0
,即
a2α2+bα+1=0
α2+
b
a
α+
1
a
<0   
,再分a>0與a<0兩種情況討論,進而結合等式與不等式得到關于a的不等式,進而求出a的范圍得到答案.
解答:解:(1)因為f(x)為偶函數(shù),
所以f(-x)=f(x),即b=0,
所以g(x)=
bx-1
a2x+2b
=
-1
a2x
,定義域為{x|x≠0},
所以g(-x)=-g(x),
所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù).
(2)由方程g(x)=x整理可得a2x2+bx+1=0,
因為方程g(x)=x有兩個不相等的實根,
所以△=b2-4a2>0,即|
b
2a
|>1
,即
b
2a
>1或
b
2a
<-1
,
又因為函數(shù)f(x)=ax2+bx+1的對稱軸為x=-
b
2a
,并且a>0,
所以當-
b
2a
< -1
時,f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);當-
b
2a
>1
時,f(x)在(-1,1)上是減函數(shù).
(3)由
g(x)=x
f(x)=0
可得
a2x2+bx+1=0
ax2+bx+1=0
,
設α為x1與x2中的一個數(shù),
則有
a2α2+bα+1=0
(α-x3)(α-x4)<0

因為x3+x4=-
b
a
,x3x4=
1
a

所以有
a2α2+bα+1=0
α2+
b
a
α+
1
a
<0   

當a>0時有
a2α2+bα+1=0
2+bα+1<0  

所以結合兩式可得(a-a2)α2<0,
解得:a>1或a<0(舍去).
當a<0時有
a2α2+bα+1=0
2+bα+1>0 
,
所以所以結合兩式可得(a-a2)α2>0,
解得:0<a<1(舍去).
綜上可得a的取值范圍為(1,+∞).
點評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調性,以及一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系,此題綜合性比較強,考查了數(shù)學上一個重要的思想方法即分類討論的思想方法,此題屬于難題.
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1
2
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5
2
-x
有等根
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2
3
x-1
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x
f(x)

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1
10
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