Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+

2

3

x-1的圖象過原點且關(guān)于y軸對稱，記函數(shù) h(x)=

x

f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當a=

1

10

時，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

分析：（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則常數(shù)項為0，若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故不難求出b，c的值．
（II）當a=

1

10

時，結(jié)合（1）的結(jié)論不難給出函數(shù)導函數(shù)的解析式，確定導函數(shù)的符號易得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（III）如果函數(shù)圖象上存在垂直于y軸的切線，則切點處的導數(shù)為0，結(jié)合導數(shù)即可求解．

解答：解：（I）∵y=ax²+（b+

2

3

）x+c-1是偶函數(shù)，
∴b+

2

3

=0，b=-

2

3

，
又∵圖象過原點，
∴c=1，
∴b=-

2

3

，c=1，
（Ⅱ）當a=

1

10

時，h（x）=

x

（

1

10

x2-

2

3

x+1）
h′（x）=

1

2

x-

1

2

(

1

10

x2-

2

3

x+1)+

x

(

1

5

x-

2

3

)
=

1

2 x

(

1

10

x2-

2

3

x+1)
=

1

4 x

(x2-4x+2)
令f′（x）＜0得，
函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（2-

2

，2+

2

），
（III）∵函數(shù)h（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=

1

2

x-

1

2

（ax²-

2

3

x+1）+

x

（2ax-

2

3

）=

1

2 x

(5ax2-2x+1)
即5ax²-2x+1=0存在正根，△=4（1-5a）．
①當a＞

1

5

時，△＜0，方程5ax²-2x+1=0無實數(shù)根，
此時函數(shù)h（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當a=

1

5

時，△=0，方程5ax²-2x+1=0根為x=1，
此時函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當0＜a＜

1

5

時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂，x₁+x₂=

2

a

＞0，x₁x₂=

1

a

＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個不等的正實數(shù)根
此時函數(shù)h（x）的圖象上有垂直于y軸的切線
④a＜0時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有且僅有一個正實數(shù)根，此時函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
綜上：
當a＞

1

5

時，不存在垂直于y軸的切線
當a=

1

5

或a＜0時，存在一條垂直于y軸的切線
當0＜a＜

1

5

時，存在垂直于y軸的切線．

點評：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的應用、導數(shù)的應用等基礎(chǔ)知識，考查待定系數(shù)法．待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法之一，當函數(shù)f（x）類型確定時，可用待定系數(shù)法．其解題步驟一般為：①根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)的解析式（其中系數(shù)待定）②根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于系數(shù)的方程（組）③解方程（組）確定各系數(shù)的值④將求出的系數(shù)值代入求出函數(shù)的解析式．