(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并求出f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值.

解: (1)f′(x)=x2-2ax+a2-1,
∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,
∵(1,2)在y=f(x)上,∴2=-a+a2-1+b,
又f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0,
解得a=1,b.
(2)∵f(x)=x3-x2,∴f′(x)=x2-2x,
由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的極值點(diǎn),所以有

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)
∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8,
∴在區(qū)間[-2,4]上的最大值為8.

解析

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)求在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若存在,使成立,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題14分)
線的斜率是-5。
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b、c的值;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值;
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=f(x)上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本題滿分16分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求證:在區(qū)間上,滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù) ()(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)求的極值
(2)對(duì)于數(shù)列,   ()
①  證明:
② 考察關(guān)于正整數(shù)的方程是否有解,并說(shuō)明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知函數(shù).
(1)若,求x的取值范圍;
(2)若對(duì)于∈[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

.已知函數(shù),其中
(1)設(shè)函數(shù),若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù)是否存在,對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù),存在唯一的非零
實(shí)數(shù)使得成立,若存在,求的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
(理科)已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù),則實(shí)數(shù)的值是

A. B. C. D.

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